Ecuaciones Diofánticas
Autora: Ana Alonso Iglesias e-mail: anaai@educastur.princast.es
Curso, ciclo y nivel educativo | Bachillerato |
| Área o áreas curiculares | Matemáticas |
| TAREA | PROCESO | RECURSOS | EVALUACIÓN | CONCLUSIONES | CRÉDITOS |
INTRODUCCIÓN
Supongamos que se te pide que des las soluciones de la ecuación 3x+14y=20; seguramente dirás que es un problema muy sencillo, que la solución es y=(20-3x)/14, donde x puede tomar cualquier valor. Otra cuestión mucho menos obvia es que halles las soluciones con x e y enteros. Este tipo de ecuaciones, cuyas soluciones se exigen que tomen valores enteros, o más en general valores racionales, es lo que se conocen como ecuaciones diofánticas, en honor a Diofanto, matemático griego del año 275 que las estudió extensivamente y dio soluciones a algunas de ellas. La teoría de las ecuaciones diofánticas ha llegado con el tiempo a contarse entre las más bellas y difíciles áreas de las matemáticas; tanto es así que el gran matemático y físico Gauss llegó a decir que la matemática es la reina de las ciencias y la aritmética (llamada modernamente Teoría de Números) es la reina de las matemáticas. Espero que después de realizar esta webquest sepas resolver algunas ecuaciones diofánticas simples.
TAREA
Primeramente, los alumnos deberán aprender a resolver, individualmente o por equipos de no más de tres personas, la ecuación mencionada en la introducción: 3x+14y=20. El método que aprenderán les servirá también para resolver ecuaciones diofánticas más generales de la forma a x + b y = c, con a, b y c números enteros.
Una segunda tarea es entender cómo se construyen las ternas pitagóricas, es decir, las ternas x, y, z de números naturales que satisfacen la ecuación x 2+y2=z2.
Por último, como tercera tarea, el alumno debe familiarizarse con algunas cuestiones históricas de las ecuaciones diofánticas, como el origen del término, o la historia del teorema de Fermat, desde su enunciado como algo "supuestamente" probado hasta su reciente demostración. Sería interesante que el alumno sacara la impresión, a la vista de este teorema ya mencionado, de que las afirmaciones resultados relativos a las ecuaciones diofánticas son muchas veces fáciles de enunciar, de manera que se entiende lo que dicen sin tener una formación altamente especializada, pero que en cambio su demostración es muy difícil y sólo comprensible por los iniciados en los misterios de la Teoría de Números.
PROCESO
Para realizar la primera tarea sigue los siguientes pasos:
Primer paso: Si la ecuación original es demasiado complicada de resolver, comenzemos con una más sencilla: 3x+14y=1, en la que el término independiente es ahora 1 en lugar de 20. Observa que 1 es el máximo común divisor entre 3 y 14. Hay un método para calcular el máximo común divisor de dos números a y b, conocido como algoritmo de Euclides que, con un poco más de esfuerzo adicional, nos permite escribir el máximo común divisor en la forma n a+m b, con n y m enteros (el algoritmo con este pequeño aditamento se llama algoritmo de Euclides extendido). En la página web (1) aprenderás como utilizar el algoritmo de Euclides extendido. No te preocupes si no entiendes la parte teórica, podrás observar que los ejemplos que la siguen son más sencillos de comprender. No obstante, si no te contentas con saber cómo funciona el algoritmo y quieres saber también por qué funciona, merecerá la pena que vuelvas a leer otra vez la teoría haciendo un pequeño esfuerzo; la satisfacción merecerá la pena.
¡Bien, has encontrado la solución x=5,y=-1 de la ecuación 3x+14y=1, felicidades!, pero...esa no era la ecuación que querías resolver, sino 3x+14y=20.
Segundo paso: Para conseguir una solución de la ecuación original, simplemente multiplicas los valores de x e y que has encontrado por 20, con lo que el valor de 3x+14y, que era 1, queda así multiplicado por 20, y así obtenemos los valores x=100, y=-20, que ahora sí son una solución de la ecuación 3x+14y=20. La pregunta natural que surge ahora es, ¿Es esta solución la única, o hay más soluciones? La respuesta es que hay más soluciones; de hecho hay infinitas soluciones más, lo que nos lleva al...
Tercer paso: Llamemos x0 e y0 a los valores 100 y -20 que hemos calculado. Evidentemente, para cualquier otra solución x,y se cumple que 3(x-x0)+14(y-y0)=0; así, x-x0,y-y0 son soluciones de la llamada ecuación homogenea asociada 3u+14v=0, y por lo tanto, si obtenemos las soluciones enteras u,v de dicha ecuación homogenea, habremos obtenido todas las soluciones de nuestra ecuación original sin más que sumarle x0 a u y sumarle y0 a v.
Como 3u=-14v y además 3 y 14 no tienen divisores comunes (aparte de 1 y -1), v tiene que ser múltiplo de 3 y u tiene que ser múltiplo de 14; así, v=3v1 y u=14u1 para ciertos enteros v1 y u1, de donde concluimos que v1=-u1. Si llamamos t a este valor común, obtenemos que la solución de la ecuación homogenea es v=3t,u=-14t.
Por lo tanto, la solución general de la ecuación inicial que queríamos calcular es
x=100-14t,y=-20+3t,
donde t es un número entero arbitrario.
Seguramente te preguntarás si este método nos da siempre soluciones de una ecuación diofántica cualquiera a x + b y = c. La respuesta es que en general no es así. Una condición que tiene que cumplirse para que existan soluciones es que, si d es el máximo comun divisor de a y b, se tenga que c es divisible por d. Esto está claro, ya que como a y b son múltiplos de d, también habrá de serlo a x+b y. Así, por ejemplo, la ecuación 5x+15y=12 no tiene solución, ya que 12 no es divisible por 5. Ahora bien, si c es divisible por d, la ecuación sí que tiene claramente solución, ya que, dividiendo ambos miembros por d, ¡nos reducimos al caso ya estudiado en que los coeficientes de x e y tienen máximo común divisor 1!
En la lista de enlaces de la sección "Recursos", el enlace (2) te remite a una página web en la que puedes solucionar de forma automática una ecuación diofántica lineal sin más que introducir los coeficientes de x e y, así como el término independiente, y darle al botón "Resolver".
Respecto a la segunda tarea, una página web en la que puedes aprender cómo se hallan todas las ternas pitagóricas es la indicada en el enlace (3) de la sección "Recursos". Al final de la página hay unas erratas tipográficas en el desarrollo de algunos cuadrados, que te animo a encontrar por ti mismo.
Finalmente, te puede servir de ayuda para completar la tercera tarea mirar el enlace (4) de la sección "Recursos", en el que puedes obtener información sobre la vida de Fermat y el llamado "último teorema de Fermat").
RECURSOS
(1)http://docencia.udea.edu.co/cen/edp-705/archivos/cap%204/4-1.htm Se describe el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números a y b y para expresar este máximo común divisor en la forma "n a + m b", con n y m números enteros. (2) http://ma1.eii.us.es/miembros/cobos/Utilidades%20IMD/Ecu_Diofanticas.htm para resolver "en línea" ecuaciones diofánticas lineales.
(3) http://usuarios.lycos.es/teoriadenumeros/pitag.html para aprender a encontrar todas las ternas pitagóricas.
(4) http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/primeroa/fermat/portada.htm para conocer algo más sobre Fermat y su teorema.
(5) http://www.arrakis.es/~mcj/prb138.htm para ver la solución a un problema de edades utilizando como herramienta las ecuación diofánticas
EVALUACIÓN
1) Responde a las siguientes preguntas:
i) ¿Fue Fermat un matemático profesional?
ii) ¿Cuándo fue demostrado el teorema de Fermat y por quién?
2) Di tres ternas pitagóricas que no sean proporcionales (o sea, no vale decir, por ejemplo, 3,4,5 la primera, 6,8,10 la segunda y 9,12,15 la tercera).
3) ¿Tiene alguna solución la ecuación 2x+6y=5? Si la tiene, da todas las soluciones, y si no, justifica por qué.
4) Da todas las soluciones de la ecuación diofántica lineal 4x+15y=10.
5) Si resuelves mediante el programa del enlace (2) la ecuación diofántica del ejemplo, 3x+14y=20, verás que se obtiene la solución x=100+14t,y=-20-3t, que coincide "casi" con la nuestra, salvo por el signo de los coeficientes de t. ¿Quiere esto decir que hay algún error en nuestra solución o en la del programa? Si no lo hay, explica por qué.
La pregunta 1) contará un punto (medio cada apartado), la 2) tres puntos (uno cada terna), las 3),4) y 5) dos puntos cada una.
CONCLUSIONES
Has aprendido lo que es una ecuación diofántica, y también has aprendido a resolver algunas de ellas, concretamente las ecuaciones diofánticas lineales de la forma a x+b y=c, con a, b y c números enteros, y un caso especial de las cuadráticas en tres variables, concretamente las que tienen la forma x 2+y2=z2, que dan origen a las ternas pitagóricas. Finalmente, te has informado sobre la evolución histórica de una famosa ecuación diofántica, la ecuación de Fermat, lo cual te ha permitido entrever la profundidad del campo de las ecuaciones diofánticas, así como su gran atractivo estético y dificultad de los métodos con los que se trabaja, que a menudo aúnan ramas dispares de las matemáticas como el álgebra, análisis matemático, geometría, topología y otras más.
Por último, como tercera tarea, el alumno debe familiarizarse con algunas cuestiones históricas de las ecuaciones diofánticas, como el origen del término, o la historia del teorema de Fermat, desde su enunciado como algo "supuestamente" probado hasta su reciente demostración. Sería interesante que el alumno sacara la impresión, a la vista de este teorema ya mencionado, de que las afirmaciones resultados relativos a las ecuaciones diofánticas son muchas veces fáciles de enunciar, de manera que se entiende lo que dicen sin tener una formación altamente especializada, pero que en cambio su demostración es muy difícil y sólo comprensible por los iniciados en los misterios de la Teoría de Números.
PROCESO
Para realizar la primera tarea sigue los siguientes pasos:
Primer paso: Si la ecuación original es demasiado complicada de resolver, comenzemos con una más sencilla: 3x+14y=1, en la que el término independiente es ahora 1 en lugar de 20. Observa que 1 es el máximo común divisor entre 3 y 14. Hay un método para calcular el máximo común divisor de dos números a y b, conocido como algoritmo de Euclides que, con un poco más de esfuerzo adicional, nos permite escribir el máximo común divisor en la forma n a+m b, con n y m enteros (el algoritmo con este pequeño aditamento se llama algoritmo de Euclides extendido). En la página web (1) aprenderás como utilizar el algoritmo de Euclides extendido. No te preocupes si no entiendes la parte teórica, podrás observar que los ejemplos que la siguen son más sencillos de comprender. No obstante, si no te contentas con saber cómo funciona el algoritmo y quieres saber también por qué funciona, merecerá la pena que vuelvas a leer otra vez la teoría haciendo un pequeño esfuerzo; la satisfacción merecerá la pena.
¡Bien, has encontrado la solución x=5,y=-1 de la ecuación 3x+14y=1, felicidades!, pero...esa no era la ecuación que querías resolver, sino 3x+14y=20.
Segundo paso: Para conseguir una solución de la ecuación original, simplemente multiplicas los valores de x e y que has encontrado por 20, con lo que el valor de 3x+14y, que era 1, queda así multiplicado por 20, y así obtenemos los valores x=100, y=-20, que ahora sí son una solución de la ecuación 3x+14y=20. La pregunta natural que surge ahora es, ¿Es esta solución la única, o hay más soluciones? La respuesta es que hay más soluciones; de hecho hay infinitas soluciones más, lo que nos lleva al...
Tercer paso: Llamemos x0 e y0 a los valores 100 y -20 que hemos calculado. Evidentemente, para cualquier otra solución x,y se cumple que 3(x-x0)+14(y-y0)=0; así, x-x0,y-y0 son soluciones de la llamada ecuación homogenea asociada 3u+14v=0, y por lo tanto, si obtenemos las soluciones enteras u,v de dicha ecuación homogenea, habremos obtenido todas las soluciones de nuestra ecuación original sin más que sumarle x0 a u y sumarle y0 a v.
Como 3u=-14v y además 3 y 14 no tienen divisores comunes (aparte de 1 y -1), v tiene que ser múltiplo de 3 y u tiene que ser múltiplo de 14; así, v=3v1 y u=14u1 para ciertos enteros v1 y u1, de donde concluimos que v1=-u1. Si llamamos t a este valor común, obtenemos que la solución de la ecuación homogenea es v=3t,u=-14t.
Por lo tanto, la solución general de la ecuación inicial que queríamos calcular es
x=100-14t,y=-20+3t,
donde t es un número entero arbitrario.Seguramente te preguntarás si este método nos da siempre soluciones de una ecuación diofántica cualquiera a x + b y = c. La respuesta es que en general no es así. Una condición que tiene que cumplirse para que existan soluciones es que, si d es el máximo comun divisor de a y b, se tenga que c es divisible por d. Esto está claro, ya que como a y b son múltiplos de d, también habrá de serlo a x+b y. Así, por ejemplo, la ecuación 5x+15y=12 no tiene solución, ya que 12 no es divisible por 5. Ahora bien, si c es divisible por d, la ecuación sí que tiene claramente solución, ya que, dividiendo ambos miembros por d, ¡nos reducimos al caso ya estudiado en que los coeficientes de x e y tienen máximo común divisor 1!
En la lista de enlaces de la sección "Recursos", el enlace (2) te remite a una página web en la que puedes solucionar de forma automática una ecuación diofántica lineal sin más que introducir los coeficientes de x e y, así como el término independiente, y darle al botón "Resolver".
Respecto a la segunda tarea, una página web en la que puedes aprender cómo se hallan todas las ternas pitagóricas es la indicada en el enlace (3) de la sección "Recursos". Al final de la página hay unas erratas tipográficas en el desarrollo de algunos cuadrados, que te animo a encontrar por ti mismo.
Finalmente, te puede servir de ayuda para completar la tercera tarea mirar el enlace (4) de la sección "Recursos", en el que puedes obtener información sobre la vida de Fermat y el llamado "último teorema de Fermat").
RECURSOS
(1)http://docencia.udea.edu.co/cen/edp-705/archivos/cap%204/4-1.htm Se describe el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números a y b y para expresar este máximo común divisor en la forma "n a + m b", con n y m números enteros. (2) http://ma1.eii.us.es/miembros/cobos/Utilidades%20IMD/Ecu_Diofanticas.htm para resolver "en línea" ecuaciones diofánticas lineales.
(3) http://usuarios.lycos.es/teoriadenumeros/pitag.html para aprender a encontrar todas las ternas pitagóricas.
(4) http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/primeroa/fermat/portada.htm para conocer algo más sobre Fermat y su teorema.
(5) http://www.arrakis.es/~mcj/prb138.htm para ver la solución a un problema de edades utilizando como herramienta las ecuación diofánticas
EVALUACIÓN
1) Responde a las siguientes preguntas:
i) ¿Fue Fermat un matemático profesional?
ii) ¿Cuándo fue demostrado el teorema de Fermat y por quién?
2) Di tres ternas pitagóricas que no sean proporcionales (o sea, no vale decir, por ejemplo, 3,4,5 la primera, 6,8,10 la segunda y 9,12,15 la tercera).
3) ¿Tiene alguna solución la ecuación 2x+6y=5? Si la tiene, da todas las soluciones, y si no, justifica por qué.
4) Da todas las soluciones de la ecuación diofántica lineal 4x+15y=10.
5) Si resuelves mediante el programa del enlace (2) la ecuación diofántica del ejemplo, 3x+14y=20, verás que se obtiene la solución x=100+14t,y=-20-3t, que coincide "casi" con la nuestra, salvo por el signo de los coeficientes de t. ¿Quiere esto decir que hay algún error en nuestra solución o en la del programa? Si no lo hay, explica por qué.
La pregunta 1) contará un punto (medio cada apartado), la 2) tres puntos (uno cada terna), las 3),4) y 5) dos puntos cada una.
CONCLUSIONES
Has aprendido lo que es una ecuación diofántica, y también has aprendido a resolver algunas de ellas, concretamente las ecuaciones diofánticas lineales de la forma a x+b y=c, con a, b y c números enteros, y un caso especial de las cuadráticas en tres variables, concretamente las que tienen la forma x 2+y2=z2, que dan origen a las ternas pitagóricas. Finalmente, te has informado sobre la evolución histórica de una famosa ecuación diofántica, la ecuación de Fermat, lo cual te ha permitido entrever la profundidad del campo de las ecuaciones diofánticas, así como su gran atractivo estético y dificultad de los métodos con los que se trabaja, que a menudo aúnan ramas dispares de las matemáticas como el álgebra, análisis matemático, geometría, topología y otras más.
(3) http://usuarios.lycos.es/teoriadenumeros/pitag.html para aprender a encontrar todas las ternas pitagóricas.
(4) http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/primeroa/fermat/portada.htm para conocer algo más sobre Fermat y su teorema.
EVALUACIÓN
1) Responde a las siguientes preguntas:
i) ¿Fue Fermat un matemático profesional?
ii) ¿Cuándo fue demostrado el teorema de Fermat y por quién?
2) Di tres ternas pitagóricas que no sean proporcionales (o sea, no vale decir, por ejemplo, 3,4,5 la primera, 6,8,10 la segunda y 9,12,15 la tercera).
3) ¿Tiene alguna solución la ecuación 2x+6y=5? Si la tiene, da todas las soluciones, y si no, justifica por qué.
4) Da todas las soluciones de la ecuación diofántica lineal 4x+15y=10.
5) Si resuelves mediante el programa del enlace (2) la ecuación diofántica del ejemplo, 3x+14y=20, verás que se obtiene la solución x=100+14t,y=-20-3t, que coincide "casi" con la nuestra, salvo por el signo de los coeficientes de t. ¿Quiere esto decir que hay algún error en nuestra solución o en la del programa? Si no lo hay, explica por qué.
La pregunta 1) contará un punto (medio cada apartado), la 2) tres puntos (uno cada terna), las 3),4) y 5) dos puntos cada una.